CAPITULO VII LA ELIPSE

CAPITULO VII

LA ELIPSE

Definiciones

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definición de la elipse excluye el caso en que el punto móvil este sobre el segmento que une los focos.

Ecuación de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes de la elipse

Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X. Los focos F y F' esta sobre el eje X. Como el centro 0 es el punto medio del segmento FF', las coordenadas de F y F' serán, por ejemplo, (c, 0) y (-c, 0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P (x, y) un puto cualquiera de la elipse. Por la definición de la curva, el puto P debe satisfacerse la condición geométrica

donde a es una constante positiva mayor que c.

Ecuación de la elipse de centro (h, k) y ejes paralelos a los coordenados

La ecuación de una elipse horizontal o vertical con centro en el punto (h,k) distinto de el origen  se obtiene mediante un procedimiento simple: 

remplazando X y Y   por 

x - h y y - k 

en la ecuación básica de la elipse con centro en el origen.

Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje x, se obtiene la siguiente ecuación:

(x – h)2 /a2 + (y – k)2/b2 = 1 

Los elementos de la elipse son:

• Centro: (h,k)
• Vértices: V(h+a,k), V'(h-a,k)
• Focos: F(h+c,k), F'(h-c,k)
• Vértices del eje menor: B(h,k+b) B'(h,k-b)
• Excentricidad: c/a
• LR: 2b2/a

Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje y, se obtiene la siguiente ecuación.

(x – h)2 /b2 + (y – k)2/a2 = 1

Los elementos de la elipse son:

• Centro: (h,k)
• Vértices: V(h,k+a), V'(h,k-a)
• Focos: F(h,k+c) F'(H,k-c)
• Vértices del eje menor: B(h+b,k) B'(h-b,k)
• Excentricidad: a/e
• LR: 2b2/a

Propiedades de la elipse

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

• El semi eje mayor (el segmento C-a de la figura), y
• El semi eje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.