CAPITULO VI LA PARABOLA

CAPITULO VI 

LA PARÁBOLA

Definiciones 

La ecuación de la parábola la deduciremos a partir de su definición como el lugar geométrico de un punto que se mueve de acuerdo con una ley especificada.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.

Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje un eje.

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio.

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0).  Entonces por definición de parábola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica

Ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo a un eje coordenado

Frecuentemente necesitaremos obtener la ecuación de una parábola cuyo vértice no este en el origen y cuyo eje sea paralelo, y no necesariamente coincidente, a uno de los ejes coordenados. De acuerdo con esto, consideramos la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) y cuyo eje es paralelo al eje X. Si los ejes coordenados son trasladados de tal manera que el nuevo origen 0' coincida con el vértice (h, k), se sigue, por el teorema 1 del articulo 55, que en la ecuación de la parábola con referencia a los nuevos ejes X' y Y' esta dada por

y'2 = 4 px'

En donde las coordenadas del foco F son (p, 0) referido a los nuevos ejes. A partir de la ecuación de la parábola referida a los ejes originales X y Y, podemos obtener la ecuación usando las ecuaciones de transformaciones del teorema 1, Articulo 50, a saber

x = x' + h,  y = y' + k

de donde

x' = x -h, y' = y - k

Si sustituimos estos valores de x' y y' en la ecuación 1 obtenemos 

(y - k)2 = 4p (x - h)

La función cuadrática

La forma 

ax2 + bx + c

en donde, a, b y c son constantes y a = 0, se llama función cuadrática de x, o trinomio de segundo grado, y puede ser investigada por medio de la relación

y = ax2 + bx + c.

Las propiedades analíticas de la función cuadrática puede estudiarse convenientemente por medio de las propiedades geométricas de la parábola. Si reducimos la ecuación a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola, completando el cuadrado en x, obtenemos

que es la ecuación de una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y, y cuyo vértice es el punto 

Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba; si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Un punto de una curva continua cuya ordenada sea algebraicamente mayor que la de cualquiera de los puntos vecinos a el se llama punto máximo de la curva. Análogamente, un punto cuya ordenada sea algebraicamente menor que la de cualquiera de los puntos vecinos a el se llama punto mínimo de la curva.