CAPITULO IX ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

CAPITULO IX

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

Transformación de la ecuación general por rotación de los ejes coordenados

Definición general de cónica

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola. un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice

De acuerdo al ángulo y el lugar de la intersección es posible obtener círculos, hipérbolas , elipses o parábolas. Cuando el plano solo toca uno de los mantos del cono y no es paralelo a una de sus aristas se obtiene una Elipse. Cuando el plano corta los dos mantos del cono se obtiene una hipérbola. Cuando el plano que corta es paralelo a una de las aristas del cono se obtiene una parábola.

Tipos:

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

• β < α : Hipérbola (naranja)
• β = α : Parábola (azulado)
• β > α : Elipse (verde)
• β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:

Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.

cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

Sistema de cónicas

La perspectiva cónica es un sistema de representación gráfico basado en la proyección de un cuerpo tridimensional sobre un plano auxiliándose en rectas proyectantes que pasan por un punto. El resultado se aproxima a la visión obtenida si el ojo estuviera situado en dicho punto.

Filippo Brunelleschi en el Quattrocento fue el primero que formuló las leyes de la perspectiva cónica, mostrando en sus dibujos las construcciones en planta y alzado, indicando las líneas que se dirigen al punto de fuga.

Una familia de cónicas interesante es el sistema formado por las cónicas que pasan por las intersecciones de dos cónicas dadas. 

CAPITULO VIII LA HIPÉRBOLA

CAPITULO VIII 

LA HIPÉRBOLA

Definiciones 

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

Primera ecuación ordinaria de la hipérbola 

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y sabiendo que  

b y c" class="i" />, llegamos a:

Asíntotas de la hipérbola 

Las asíntotas de la hipérbola (A₁ y A₂) son las dos líneas rectas que se aproximan cada vez más a la hipérbola pero no llegan a intersectarla. En el infinito las asíntotas estarán a una distancia 0 de ella.

Las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener si se conocen el semieje real (a) y el semieje imaginario (b).

Hipérbola equilátera o rectangular

Una hipérbola es equilátera cuando los semiejes a y b son iguales:

Esto quiere decir: a = b.
Si observas las asíntotas, verás que se tratan de las bisectrices (dividen un ángulo en dos partes iguales).

Hipérbolas conjugadas

Si dos hipérbolas son tales que ele eje transverso de cada una es idéntico al eje conjugado de la otra, se llaman hipérbolas conjugadas. Cada hipérbola es entonces la hipérbola conjugada de la otra, y también se dice que cada hipérbola es conjugada con respecto a la otra.

CAPITULO VII LA ELIPSE

CAPITULO VII

LA ELIPSE

Definiciones

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definición de la elipse excluye el caso en que el punto móvil este sobre el segmento que une los focos.

Ecuación de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes de la elipse

Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X. Los focos F y F' esta sobre el eje X. Como el centro 0 es el punto medio del segmento FF', las coordenadas de F y F' serán, por ejemplo, (c, 0) y (-c, 0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P (x, y) un puto cualquiera de la elipse. Por la definición de la curva, el puto P debe satisfacerse la condición geométrica

donde a es una constante positiva mayor que c.

Ecuación de la elipse de centro (h, k) y ejes paralelos a los coordenados

La ecuación de una elipse horizontal o vertical con centro en el punto (h,k) distinto de el origen  se obtiene mediante un procedimiento simple: 

remplazando X y Y   por 

x - h y y - k 

en la ecuación básica de la elipse con centro en el origen.

Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje x, se obtiene la siguiente ecuación:

(x – h)2 /a2 + (y – k)2/b2 = 1 

Los elementos de la elipse son:

• Centro: (h,k)
• Vértices: V(h+a,k), V'(h-a,k)
• Focos: F(h+c,k), F'(h-c,k)
• Vértices del eje menor: B(h,k+b) B'(h,k-b)
• Excentricidad: c/a
• LR: 2b2/a

Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje y, se obtiene la siguiente ecuación.

(x – h)2 /b2 + (y – k)2/a2 = 1

Los elementos de la elipse son:

• Centro: (h,k)
• Vértices: V(h,k+a), V'(h,k-a)
• Focos: F(h,k+c) F'(H,k-c)
• Vértices del eje menor: B(h+b,k) B'(h-b,k)
• Excentricidad: a/e
• LR: 2b2/a

Propiedades de la elipse

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

• El semi eje mayor (el segmento C-a de la figura), y
• El semi eje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

CAPITULO VI LA PARABOLA

CAPITULO VI 

LA PARÁBOLA

Definiciones 

La ecuación de la parábola la deduciremos a partir de su definición como el lugar geométrico de un punto que se mueve de acuerdo con una ley especificada.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.

Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje un eje.

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio.

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0).  Entonces por definición de parábola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica

Ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo a un eje coordenado

Frecuentemente necesitaremos obtener la ecuación de una parábola cuyo vértice no este en el origen y cuyo eje sea paralelo, y no necesariamente coincidente, a uno de los ejes coordenados. De acuerdo con esto, consideramos la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) y cuyo eje es paralelo al eje X. Si los ejes coordenados son trasladados de tal manera que el nuevo origen 0' coincida con el vértice (h, k), se sigue, por el teorema 1 del articulo 55, que en la ecuación de la parábola con referencia a los nuevos ejes X' y Y' esta dada por

y'2 = 4 px'

En donde las coordenadas del foco F son (p, 0) referido a los nuevos ejes. A partir de la ecuación de la parábola referida a los ejes originales X y Y, podemos obtener la ecuación usando las ecuaciones de transformaciones del teorema 1, Articulo 50, a saber

x = x' + h,  y = y' + k

de donde

x' = x -h, y' = y - k

Si sustituimos estos valores de x' y y' en la ecuación 1 obtenemos 

(y - k)2 = 4p (x - h)

La función cuadrática

La forma 

ax2 + bx + c

en donde, a, b y c son constantes y a = 0, se llama función cuadrática de x, o trinomio de segundo grado, y puede ser investigada por medio de la relación

y = ax2 + bx + c.

Las propiedades analíticas de la función cuadrática puede estudiarse convenientemente por medio de las propiedades geométricas de la parábola. Si reducimos la ecuación a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola, completando el cuadrado en x, obtenemos

que es la ecuación de una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y, y cuyo vértice es el punto 

Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba; si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Un punto de una curva continua cuya ordenada sea algebraicamente mayor que la de cualquiera de los puntos vecinos a el se llama punto máximo de la curva. Análogamente, un punto cuya ordenada sea algebraicamente menor que la de cualquiera de los puntos vecinos a el se llama punto mínimo de la curva. 

CAPITULO V TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

CAPITULO V 

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS 

Transformaciones 

Es el proceso que consiste en cambiar una relación, expresión o figura por otra. Así, podemos transformar una ecuación algebraica en otra ecuación cada una de cuyas raíces sea el triple de la raíz correspondiente de la ecuación dada; o podemos transformar una expresión trigonométrica en otra usando las relaciones trigonométricas fundamentales.

Una transformación es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada. 

Analíticamente, la ley se expresa por una o mas ecuaciones llamadas ecuaciones de transformación.

Transformación de coordenadas

Consideremos una circunferencia de radio r cuya ecuación esta dada en la forma ordinaria

siendo las coordenadas (h, k) del centro 0' diferentes de cero. 

Si esta circunferencia, sin cambiar ninguna de sus características, se coloca con su centro en el origen 0, su ecuación toma la forma mas simple, o forma canónica.

Rotación de los ejes coordenados

Para simplificar las ecuaciones por rotación de los ejes coordenados, necesitamos el siguiente teorema.

Teorema 2. Si los ejes coordenados giran un angulo en torno de su origen como centro de rotación, y las coordenadas de un punto cualesquiera P antes y después de la rotación son (x, y) y (x', y'), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo sistema de coordenadas están dadas por

x = x' cos 0 - y' sen 0

y = x' sen 0 + y' cos 0

CAPITULO IV ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

CAPITULO IV 

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA 

Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria 

Se obtendrá a partir de la siguiente

DEFINICIÓN. Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.

El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio.

Forma general de la ecuación de la circunferencia.

Si desarrollamos la ecuación ordinaria

Se deduce que la ecuación de una circunferencia cualquiera puede escribirse en la forma

llamada forma general de la ecuación de la circunferencia. 

Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas

En la ecuación ordinaria de la circunferencia hay tres constantes arbitrarias independientes, h, k y r. De manera semejante en la ecuación general hay tres constantes arbitrarias independientes, D, E y F.

Como la ecuación de toda circunferencia puede escribirse en cualquiera de las dos formas, la ecuación de cualquier circunferencia particular puede obtenerse determinando los valores de tres constantes. 
Esto requiere tres ecuaciones independientes, que pueden obtenerse a partir de tres condiciones independientes. Por tanto, analíticamente, la ecuación de una circunferencia se determina por tres condiciones independientes. Geométricamente, una circunferencia queda perfectamente determinada por tres condiciones independientes; así, por ejemplo, queda determinada por tres cualesquiera de sus puntos.

Familias de circunferencias

Una circunferencia que satisface menos de tres condiciones independientes no es, por lo tanto, única. La ecuación de una circunferencia que satisface solamente a dos condiciones, contiene una constante arbitraria llamada parámetro. Se dice entonces que tal ecuación representa una familia de circunferencias de un parámetro.

Eje radical

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas.

El eje radical es una recta perpendicular al segmento determinado por los dos centros de las circunferencias, pues dado un punto del eje radical, el punto simétrico respecto del segmento que une los centros de las circunferencias también tendrá la misma potencia.

• Si las circunferencias son exteriores, el eje radical se puede determinar uniendo los puntos medios (M en la figura) de los segmentos determinados por los puntos de contacto de las tangentes a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura).

• Si las circunferencias son tangentes, el eje radical contiene el punto de intersección de ambas circunferencias y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias.

• Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene los puntos de intersección de las circunferencias, puesto que ambos tienen potencia nula respecto de las circunferencias.

• Si una de las circunferencias es interior, se puede obtener el eje radical trazando una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas (a en la figura). El punto de intersección de los ejes radicales auxiliares (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas, por tanto, el eje radical será la recta que contiene al punto C y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias iniciales. (Se debe elegir la circunferencia auxiliar de tal forma que los ejes radicales auxiliares se corten dentro del papel del dibujo).

Tangente a una curva

Una recta tangente a una curva en un punto de ella, es una recta que al pasar por dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, \R^1.

DEFINICIÓN.

Sea  una curva, y  un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en  la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a  en  es la recta  que pasa por  y que tiene la misma dirección que alrededor de .

La tangente es la posición límite de la recta secante () (el segmento  se llama cuerda de la curva), cuando  es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto  ( se desplaza sucesivamente por 

Si  es punto de una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta  tendrá como coeficiente director (opendiente):

Donde  son las coordenadas del punto  y  las del punto . Por lo tanto, la pendiente de la tangente T_Aserá:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente  que pasa por el punto  se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por . Siendo su ecuación:

suponiendo claro está que . Si  entonces la recta normal es simplemente .