GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
CAPITULO I
SISTEMAS DE COORDENADAS
1. Introducción
El objeto de este capítulo es presentar algunos de los conceptos fundamentales de la Geometría Analítica plana. Estos conceptos son fundamentales en el sentido de que constituyen la base del estudio de la Geometría Analítica. En particular, se hará notar como se generalizan muchas de las nociones de la Geometría elemental por los métodos de la Geometría Analítica. Esto se ilustrará con aplicaciones a las propiedades de las líneas rectas y de las figuras rectilíneas.
2. Segmento rectilíneo dirigido
La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento.
Así, en la figura 1, para la recta l, AB es un segmento cuyos extremos son A y B. La longitud del segmento de A B se representa por AB.
El lector ya está familiarizado con el concepto geométrico de segmento rectilíneo. Para los fines de la Geometría analítica a la que diremos, al concepto geométrico de segmento, la idea de sentido o dirección. Desde este punto de vista consideramos que el segmento AB es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta 1 de A hacia B.
Decimos entonces que el segmento AB está dirigido de A hasta B, e indicamos esto por medio de una flecha como en la figura 1. En este caso, el punto A se llama origen o punto inicial y el punto B extremo o punto final. Podemos también obtener el mismo segmento dirigiéndolo de B hasta A, entonces B es el origen y A el extremo, y el segmento se designa por B y A. El sentido de un segmento dirigido se indica siempre escribiendo primero el origen o punto inicial.
Desde el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes de los segmentos dirigidos, AB y BA, son las mismas. En Geometría analítica, sin embargo, se hace una distinción entre los signos de estas longitudes. Así, especificamos, arbitrariamente, que un segmento dirigido en un sentido será considerado de longitud positiva, mientras que otro, dirigido en sentido opuesto, será considerado como un segmento de longitud negativa.
De acuerdo con esto, si especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa, y escribimos:
AB =- BA
Consideremos ahora tres puntos distintos A, B y C sobre una línea recta cuya dirección positiva es de izquierda a derecha.
Hay:
3! = 6 ordenaciones posibles de estos puntos, como se muestra en la figura 2. Considerando solamente segmentos dirigidos de longitudes positivas, tenemos las seis relaciones siguientes correspondientes a estas ordenaciones:
Demostraremos enseguida que todas estas relaciones están incluidas en la relación fundamental:
En efecto, por (1), CB = - BC, de manera que la relación (a) puede escribirse:
De donde, pasando -BC al segundo miembro, obtenemos (2). Análogamente, por ser CA = - AC y CB por (1), la relación (b) se convierte en
En donde, por transposición, obtenemos también (2). La relación (c) está ya en la forma (2). Como anteriormente, usando (1), vemos que (d), (e) y (f) se reducen cada una a (2).
3. Sistema coordenado lineal
En el Artículo anterior hemos introducido los conceptos de dirección y signo con respecto a los segmentos rectilíneos. Ahora vamos a dar un paso mis introduciendo la idea de correspondencia entre un punto geométrico y un numero real.
Consideremos (fig. 3) una recta X'X cuya dirección positiva es de izquierda a derecha, y sea un punto fijo sobre esta línea. Tomemos una longitud conveniente como unidad de medida, si A es un punto de X'X distinto de O y situado a su derecha, la longitud OA puede considerarse como unidad de longitud. Si P es un punto cualquiera de X ' X situado a la derecha de y tal que el segmento dirigido OP , de longitud positiva, contiene x veces a la unidad adoptada de longitud , entonces diremos que el punto P corresponde al número positivo x.
Análogamente , si P' es un punto cualquiera de X'X situado a la izquierda de y tal que el segmento dirigido OP' tenga una longitud negativa de x' unidades, entonces diremos que el punto P ' corresponde al número negativo X'. De esta manera, cualquier número real x puede representarse por un punto P sobre la recta X'X. Y recíprocamente, cualquier punto dado P situado sobre la recta X'X representa un número real x, cuyo valor numérico es igual a la longitud del segmento OP y cuyo signo es positivo o negativo según que P este a la derecha o a la izquierda de 0.
De acuerdo con esto, hemos construido un esquema por medio del cual se establece una correspondencia biunívoca entre puntos de una recta y los números reales. Tal esquema se llama un sistema coordenado. En el caso particular considerado, como todos los puntos están sobre la misma recta, el sistema se llama sistema unidimensional o sistema coordenado lineal. Refiriéndonos a la figura 3, la recta X ' X se llama eje y el punto es el origen del sistema coordenado lineal.
El número real x correspondiente al punto P se llama coordenada del punto P y se representa por (x). Evidentemente, de acuerdo con las convenciones adoptadas, el origen tiene por coordenada (0) y el punto A tiene por coordenada (1). El punto P con su coordenada (a;) es la representación geométrica o gráfica del número real x, y la coordenada (x) es la representación analítica del punto P. Ordinariamente escribiremos el punto P y su coordenada juntos, tal como sigue: P(x).
Vamos a determinar ahora la longitud del segmento que une dos puntos dados cualesquiera tales como Pi (xi) y Pi (x») de la figura 3. En Geometría analítica, se dice que los puntos están dados cuando se conocen sus coordenadas. Por tanto, xi y xi son números conocidos. Por la relación (2) del Artículo 2, tenemos:
La longitud del segmento dirigido P2P1 , obtenida de P1P2 por medio de la relación (1 ) del Artículo 2 , es:
En cualquier caso, la longitud de un segmento dirigido se obtiene restando la coordenada del punto inicial de la coordenada del punto final. Este resultado se enuncia como sigue:
- TEOREMA 1: En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dividido que une dos puntos dados se obtiene, en magnitud y signo, restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo.
La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico o valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos. Si representamos la distancia por d, podemos escribir:
Ejemplo
Hallar la distancia entre los puntos P1 (5) y P2 (-3).
Solución. Por el teorema 1, las longitudes de los segmentos dirigidos son
Entonces por cualquiera de los segmentos dirigidos, la distancia está dada por:
4. Sistema coordenado en el
plano
En un sistema coordenado lineal, cuyos puntos están restringidos a estar sobre una recta, el eje, es evidente que estamos extremadamente limitados en nuestra investigación analítica de propiedades geométricas. Así, por ejemplo, es imposible estudiar las propiedades de los puntos de una circunferencia. Para extender la utilidad del método analítico, consideraremos ahora un sistema coordenado en el cual un punto puede moverse en todas direcciones manteniéndose siempre en un piano. Este se llama sistema coordenado-bidimensional o piano, y es el sistema coordenado usado en la Geometría analítica plana.
El primer ejemplo que estudiaremos de uno de estos sistemas, y, además, el más importante, es el sistema coordenado rectangular, familiar al estudiante desde su estudio previo de Álgebra y Trigonometría. Este sistema, indicado en la figura 4, consta de dos rectas dirigidas X'X y Y'Y, llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre si . La recta X' X se llama eje X; Y'Y es el eje Y; y su punto de intersección, el origen. Estos ejes coordenados dividen al piano en cuatro regiones llamadas Cuadrantes numerados tal como se indica en la figura 4 . La direcci6n positiva del eje X es hacia la derecha; la direcci6n positiva del eje Y , hacia arriba .
Todo punto P del piano puede localizarse por medio del sistema rectangular. En efecto, se traza PA perpendicular al eje X y PB perpendicular al eje Y. La longitud del segmento dirigido OA se representa por * y se llama abscisa de P; la longitud del segmento dirigido OB se representa por y Y se llama ordenada de P.
Los dos números reales, X y Y , se llaman coordenadas de P y se representan por (*, y) . Las abscisas medidas sobre el eje X a la derecha de son positivas y a la izquierda son negativas; las ordenadas medidas sobre Y arriba de son positivas y abajo son negativa. Los signos de las coordenadas en los cuatro cuadrantes están indicados en la figura 4.
Es evidente que a cada punto P del plano coordenado le corresponden uno y solamente un par de coordenadas (X,Y):
Recíprocamente, un par de coordenadas (X,Y) cualesquiera determina uno y solamente un punto en el plano coordenado.
Dadas las coordenadas (x , y) , x^y, quedan determinados dos puntos , uno de coordenadas (x , y)y otro de coordenadas (y , x) que son diferentes . De aquí que sea importante escribir las coordenadas en su propio orden, escribiendo la abscisa en el primer lugar y la ordenada en el segundo. Por esta razón un par de coordenadas en el piano se llama un par ordenado de números reales. En vista de nuestra discusión anterior, podemos decir que el sistema coordenado rectangular en el plano establece una correspondencia biunívoca entre cada punto del plano y un par ordenado de números reales.
La localización de un punto por medio de sus coordenadas se llama trazado del punto. Por ejemplo, para trazar el punto (—5, —6), señalaremos primero el punto A , sobre el eje X , que está 5 unidades a la izquierda de ; después , a partir de A , sobre una paralela al eje Y , mediremos seis unidades hacia abajo del eje X , obteniendo así al punto P(— 5 , — 6) . La construcción está indicada en la figura 5, en la que se han trazado también los puntos (2,6), (— 6, 4) y (4, -2).
El trazado de los puntos se facilita notablemente usando papel coordenado rectangular, dividido en cuadrados iguales por rectas paralelas a los ejes coordenados. La figura 5 es un modelo de papel de esta clase.
Se recomienda al estudiante el empleo de papel coordenado milimetrado cuando se requiera un trazado de gran exactitud.
Si consideramos solamente aquellos puntos cuyas ordenadas son cero, veremos que todos ellos están sobre el eje X, y el sistema coordenado plano se reduce al sistema coordenado lineal. Por lo tanto, el sistema coordenado lineal es, simplemente, un caso especial del sistema plano.
Otro sistema piano que tendremos ocasión de usar es el sistema de coordenados polares. Las coordenadas polares se estudiaran más adelante en un capítulo especial.
El lector deberá observar que en los sistemas coordenados que han sido estudiados, se establece una correspondencia entre los puntos y el con junto de los números reales. No se ha hecho mención de los números complejos del Álgebra. Como nuestros sistemas coordenados no especifican nada para los números complejos, no consideraremos tales números en nuestro estudio de la Geometría Analítica.
Ejemplo
Un triángulo equilátero OAB cuyo lado tiene una longitud a esta colocado de tal manera que el Vértice O está en el origen. El Vértice A esta sobre el eje de las X y a la derecha de O, y el vértice B está arriba del eje X. Hallar las coordenadas de los vértices A y B y el área del triángulo.
Solución.
Con referencia a los ejes coordenados, el triángulo está en la posición indicada en la figura 6. Como OA = a. la abscisa del punto A es A. También, por estar A sobre el eje de las X, su ordenada es 0. Por tanto, las coordenadas del Vértice A son (a, 0).
Si trazamos la altura BC, perpendicular al lado OA, sabemos, por la Geometría elemental, que C es el punto medio de OA. Por tanto, la abscisa de C es a/2.
Como BC es paralela al eje Y, la abscisa del punto B es también a/2. La ordenada de B se obtiene ahora muy fácilmente por el teorema de Pitágoras, dicha ordenada es
5. Carácter de la Geometría
analítica
La Geometría elemental, conocida ya del lector, se llama Geometría pura para distinguirla del presente estudio. Acabamos de ver que por = medio de un sistema coordenado es posible obtener una correspondencia biunívoca entre
Puntos y números reales. Esto, como veremos, nos permitirá aplicar los métodos del Análisis a la geometría, y de ahí el nombre de Geometría analítica. Al ir avanzando en nuestro estudio veremos, por ejemplo, como pueden usarse, ventajosamente, los métodos algebraicos en la resolución de problemas geométricos. Recíprocamente, los métodos de la Geometría analítica pueden usarse para obtener una representación geométrica de las ecuaciones y de las relaciones funcionales.
El sistema coordenado, que caracteriza a la geometría analítica, fue introducido por primera vez en 1637 por el matemático francés Rene Descartes (1596-1650). Por esta razón, la Geometría analítica se conoce también con el nombre de geometría cartesiana. Por la parte que toma en la unificación de las diversas ramas de las matemáticas, la introducción de la geometría analítica representa uno de los adelantos más importantes en el desarrollo de las matemáticas.
En geometría pura, el estudiante recordara que, generalmente, era necesario aplicar un método especial o un artificio, a la solución de cada problema; en geometría analítica, por el contrario, una gran variedad de problemas se pueden resolver muy fácilmente por medio de un procedimiento uniforme asociado con el uso de un sistema coordenado. El estudiante debe tener siempre presente que esta.
Siguiendo un curso de geometría analítica y que la solución de un problema geométrico no se ha efectuado por geometría analítica si no se ha empleado un sistema coordenado. Según esto, un buen plan para comenzar la solución de un problema es trazar un sistema de ejes coordenados propiamente designados.
Esto es de particular importancia en los primeros pasos de la geometría analítica, porque un defecto muy común del principiante es que si el problema que trata de resolver se le dificulta, esta propenso a caer en los métodos de la geometría pura. El estudiante deberá hacer un esfuerzo para evitar esta tendencia y para adquirir el método y espíritu analítico lo más pronto posible.
6. Distancia entre dos
puntos dados
Sean P1(x1, y1) y P2, (x1, y2) dos puntos dados cualesquiera (fig. 7). Vamos a determinar la distancia d entre P1 y P2, siendo d = [P1 P2]. Por P1 P2 tracemos las perpendiculares Pi A y P2 D a ambos ejes coordenados, como se indica en la figura, y sea E su panto de intersección. Consideremos el triángulo rectángulo P1 EP2. Por el teorema de Pitágoras, tenemos:
Las coordenadas de los pies de las perpendiculares a los ejes coordenados son A (x1, 0), B (0, y1), C (x2, 0), D (0, y1). Luego, por el teorema 1 (Art. 3) tenemos:
Este resultado se enuncia como sigue:
Teorema 2. La distancia d entre dos puntos P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) es dada por la fórmula:
d= √((x1-x2)2)+(y1-2)2
8. Pendiente de una recta
Dos rectas al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice (fig. 11). Por tanto, la expresión ' ' el ángulo comprendido entre dos rectas ' ' es ambigua, ya que tal ángulo puede ser el a o bien su suplemento . Para hacer una distinción entre estos dos ángulos , consideramos que las rectas están dirigidas y luego establecemos la siguiente
En este artículo nos apartaremos momentáneamente de nuestro estudio de la geometría analítica para considerar el significado de una expresión que se presenta frecuentemente en Matemáticas. La expresión particular a que nos referimos es ' ' una condición necesaria y suficiente ' ' Veamos primero su significado con un ejemplo.
Consideremos el sencillo teorema siguiente de la geometría elemental:
Si un triángulo es isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Este teorema establece que si un triángulo es isósceles necesariamente se verifica que los Ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Por tanto, podemos decir que la existencia de dos Ángulos iguales es una condición necesaria para que el triángulo sea isósceles.
Pero el recíproco de este teorema también es verdadero, a saber:
Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a estos ángulos son también iguales, y el triángulo es isósceles. Este teorema establece que la existencia de dos ángulos iguales es suficiente para que un triángulo sea isósceles. De ahí deducimos que la existencia de dos ángulos iguales es una condición suficiente para que el triángulo sea isósceles.
Podemos entonces combinar ambos teoremas, directo y recíproco, en el siguiente enunciado único:
Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea isósceles es que dos de sus ángulos sean iguales. Una frase de uso frecuente en lugar de ' ' una condición necesaria y
Suficiente" es "si y solamente si". Así el enunciado precedente puede escribirse:
Un triángulo es isósceles si y solamente si dos de sus ángulos son iguales.
10. Angulo de dos rectas
Consideremos (fig. 15) las dos rectas h y h, Sea C su punto de intersección y A y B los puntos en que cortan al eje X. Sean O1 y O2 los dos ángulos suplementarios que forman. Cada uno de estos ángulos, O1 y O2, se miden, tal como indican las flechas curvadas, en sentido contrario al de las manecillas de un reloj, sea, en sentido positivo, como en Trigonometría.
La recta a partir de la cual se mide el ángulo se llama recta inicial; la recta hacia la cual se dirige el ángulo se llama recta final. Las pendientes de las rectas inicial y final se llaman pendiente inicial y pendiente final, respectivamente.
Designemos por el ángulo de inclinación de la recta U y por mí la pendiente; para la recta h, sean at y mi el ángulo de inclinaci6n y la pendiente, respectivamente. Para el ángulo 0\, la recta inicial es h, la pendiente inicial es mí, la recta final es h y la pendiente final es m2 ; para el ángulo 02 , la recta y la pendiente inicial, y la recta y pendiente finales, están dadas por l2, r2, l1 y m1, respectivamente. Vamos ahora a calcular cada uno de los ángulos O1 y O2 cuando se conocen las pendientes m1 y m2 de los lados que forman estos ángulos.
Comparando (3) y (4), vemos que solamente difieren en el signo, lo cual era de esperarse, ya que 61 y di son ángulos suplementarios.
Para calcular un ángulo especificado es esencial saber si se debe usar la formula (3) la (4), es decir, debemos tener la seguridad de que estamos calculando un ángulo particular su suplemento. Esto se resuelve muy sencillamente si observamos que, en ambos resultados, el numerador se obtiene restando la pendiente inicial de la pendiente final.
11. Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Con los resultados obtenidos en este capítulo es posible demostrar muy fácilmente muchos teoremas de la geometría elemental por los métodos de la geometría analítica. El estudiante comprenderá el alcance de la geometría analítica comparando la demostración analítica de un teorema con la demostración del mismo teorema dada en geometría elemental.
En relación con la demostración analítica de un teorema, son necesarias ciertas precauciones. Como en la demostración se emplea un sistema coordenado, es muy útil construir la figura de manera que se facilite la demostración. Una figura debe colocarse siempre en la posición más simple, es decir, en una posición tal que las coordenadas de los puntos de la figura simplifiquen lo más posible los cálculos algebraicos.
Por ejemplo, en un teorema relativo a un triangulo cualquiera, la figura puede suponerse tal como se indica en la figura 17 (a), teniendo los vértices las coordenadas que se indican. Pero es más sencillo suponer el triángulo en la posición indicada en la figura 17 (b); en efecto, para esta posición solamente tenemos tres cantidades, a, b y c, que considerar, mientras que si consideramos
El triángulo dado en la figura 17 (a) serán seis las cantidades que entraran en nuestros cálculos. Una posición análoga a la dada en la figura 17 (6) es aquella en que ningún vértice está en el origen, pero un vértice esta sobre uno de los ejes coordenados y los otros dos están sobre el otro eje coordenado. El estudiante dibujar las figuras correspondientes a este caso.
12. Resumen de formulas
A intervalos apropiados el estudiante debe construir tablas que comprendan un sumario de los resultados obtenidos. En tales tablas se apreciar a simple vista no solamente las relaciones importantes sino también algunas analogías o propiedades comunes, también servirán para reducir a un mínimo los resultados que deben aprenderse de memoria.
Como ejemplo, presentamos a continuación un resumen, en forma de tabla, de los principales resultados obtenidos en este capítulo. El estudiante debe tener estos resultados claramente definidos en su mente, y, en particular, debe notar el paralelismo entre la condición geométrica por una parte y su representación analítica por otra.
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