CAPITULO II GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS

CAPITULO II

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS

13. Dos problemas fundamentales de la Geometría analítica

En este capítulo haremos un estudio preliminar de dos problemas fundamentales de la Geometría analítica.

• Dada una ecuación interpretarla geométricamente, es decir, construir la gráfica correspondiente.
• Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir los puntos de la misma, determinar su ecuación.

El lector observara, que estos problemas son esencialmente inversos entre sí. Estrictamente hablando, sin embargo, ambos problemas están tan estrechamente relacionados que constituyen juntos el problema fundamental de toda la Geometría analítica.

14. Primer problema fundamental. Gráfica de una ecuación

Grafica de una ecuación. Supongamos que se nos da una ecuación de dos variables, X y Y, que podemos escribir, brevemente, en la forma:

f(x,y) = 0

En general, hay un número infinito de pares de valores de X y Y que satisfacen esta ecuación. Cada uno de tales pares de valores reales se toma como las coordenadas (X, Y) de un punto en el piano. Este convenio es la base de la siguiente definición:

Definición 1. El conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación (1), se llama gráfica de la ecuación o, bien, su lugar geométrico.

Definición 2. Cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (1) pertenece a la gráfica de la ecuación.

No debe insistirse mucho en aquello de que solamente aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación pertenecen a su lugar geométrico. Lo importante es que si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación, ese punto pertenece a la gráfica de esa ecuación y, recíprocamente, si un punto está sobre la gráfica de una ecuación, sus coordenadas satisfacen la ecuación.

El lector no debe creer que toda ecuación del tipo (') tiene, necesariamente. Una gráfica. Por ejemplo, la ecuación:

Se satisface para un número infinito de paces de valores de X  y Y, pero en ningún caso son unos valores numéricos reales. Por esto no se puede trazar ningún punto cuyas coordenadas satisfagan esta ecuación, ya que estamos restringidos a puntos cuyas coordenadas sean ambas número reales. Decimos entonces que (3) no tiene gráfica en el sistema coordenado rectangular real que estamos empleando.

15. Intercepciones con los ejes

El primer punto que estudiaremos en relación con la discusión de una ecuación es el de las intercepciones de la curva con los ejes coordenados.

Definiciones: 

Llamaremos intercepción de una curva con el eje X a la abscisa del punto de intersección de la curva con el eje. Análogamente, la intercepción con el eje Y es la ordenada del punto de intersección de la curva con dicho eje. 

El método para obtener la intercepciones es evidente a partir de la definición. Como la intercepción con el eje X es la abscisa de un punto que esta sobre el eje de las X, la ordenada de ese punto es cero. 

Por tanto, haciendo y = 0 en la ecuación de la curva, las soluciones reales de la ecuación resultante en x nos darán las intercepciones con el eje de las X. Análogamente, haciendo en la ecuación x = 0, las soluciones reales de la ecuación resultante en y nos darán las intercepciones con el eje Y.

16. Simetría

El segundo punto que consideraremos, en relación con la discusión de una ecuación, es la simetría de la curva que representa, con respecto a los ejes coordenados y con respecto al origen.

Definición 1: Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio. 

La recta con respecto a la cual son simétricos los dos puntos se llama eje de simetría. Así, en la figura 21, los dos puntos A y B son simétricos con respecto al eje de simetría si la recta  es perpendicular al segmento AB en su punto medio.

Definición 2: Se dice que una curva es simétrica con respecto a un centro de simetría O cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que estos dos puntos son simétricos con respecto a 0.

17. Extensión de una curva

El tercer punto que consideraremos, en relación con la discusión de una ecuación, es el estudio de la extensión de la curva. Con este término queremos expresar la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de X y Y son valores reales.

Esta información es útil por 2 razones:

• Dada la localización general de la curva en el plano coordenado
• Indica si la curva es cerrada o si es de extensión indefinida

Los intervalos para los cuales los valores de x y y son reales se determinan, simplemente, resolviendo la ecuación dada para y, en términos de x, y para x en términos de y.

Ejemplo. Discutir la ecuación y 2 = x 3 . Estudiando las intercepciones. simetría y extensión de la curva. Trazar la gráfica correspondiente. 

Solución. 

a) Intercepciones. Para y =0, x = 0; para x = 0, y = 0.

Por tanto, el único punto de intersección con los ejes coordenados es el origen. 

b) Simetría. Si se sustituye y por — y. la ecuación no se altera Por tanto, la curva es simétrica con respecto al eje X. Si sustituimos x por — x, la ecuación se altera; por tanto, la curva no es simétrica con respecto al eje Y. Si se sustituyen X y Y por –X y –Y, respectivamente, la ecuación también cambia; luego, la curva no es simétrica con respecto al origen. 

c) Extensión. Despejando y en función de x, obtenemos

y= ≠ √x^3

Vemos inmediatamente que “y” es compleja si “x” es negativa; por tanto, todos los valores negativos de x quedan excluidos. Esto significa que ninguna porción de la curva está a la izquierda del eje V. En cambio, pueden tomarse todos los valores positivos de x.

18. Asíntotas

El cuarto punto que consideraremos, en relación con la discusión de una ecuación, es la determinación de las asíntotas que la curva pueda tener.

Definición. Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva. 

Esta definición implica dos cosas: 

1) una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita, sino que se extiende indefinidamente.

2) una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el piano coordenado .

Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares. Si es paralela o coincide con el eje X, se llama asíntota horizontal; si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical; y si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, asíntota oblicua.

Aquí consideraremos solamente la determinación de asíntotas verticales y horizontales. Posteriormente veremos la determinación de asíntotas oblicuas para una curva particular conocida con el nombre de hipérbola.

Vimos (Art. 17) que se puede determinar la extensión de una curva despejando y en función de X y X en función de “Y”. Para obtener las asíntotas verticales y horizontales, usaremos estas mismas ecuaciones en las que aparecen despejadas las variables.

Ejemplo. 

Determinar las asíntotas verticales y horizontales de la curva cuya ecuación es:

xy-y-1=0

Solución. 

Despejando y en función de x. resulta.

y=  1/(x-1)

Según la ecuación (2) y no está definida para x = 1. Sin embargo, si se le asigna a x un valor que sea ligeramente mayor que 1, vemos que y, f , toma un valor positivo muy grande; y si se le da a x un valor ligeramente menor que 1, resulta que y toma un valor negativo numéricamente muy grande. En cualquiera de estos dos casos, obtenemos un punto de la curva para el cual la abscisa tiene un valor muy aproximado a 1 y la ordenada es numéricamente, muy grande.

A medida que x se aproxima al valor 1, el valor absoluto de y se hace mayor que cualquier numero por grande que se le suponga.

Despejando de (1) el valor de “X” en función de “Y” se obtiene

x=  (y+1)/y

Aplicando precisamente el mismo argumento a (3), obtenemos y = 0, o sea, el eje X. como asíntota horizontal. La gráfica de (1) se muestra en la figura 28. Se llama una hipérbola.

19. Construcción de curvas

A discusión de una ecuación y su representación gráfica constituyen, en conjunto, un problema de tan gran importancia en todas las ramas de la Matemática y sus aplicaciones, que se le ha dado el nombre especial de construcción de curvas. Dedicaremos el presente artículo a hacer un resumen de los resultados obtenidos en los artículos inmediatamente precedentes. 

Desde nuestro punto de vista, el trazado de una curva constara de los seis pasos siguientes:

1. Determinación de las intercepciones con los ejes coordenados. 

2. Determinación de la simetría de la curva con respecto a los ejes coordenados y al origen. 

3. Determinación de la extensión de la curva.

4. Determinación de las ecuaciones de las asíntotas verticales u horizontales que la curva puede tener. 

5. Calculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada. 

6. Trazado de la curva.

Ejemplo1. 

Intercepciones. Para y — 0, x = 0; para x = 0. y — 0. Por tanto, el único punto de intersección con los ejes coordenados es el origen.

Simetría. 

La ecuación dada solamente no se altera en el caso en que y es reemplazada por — y. 

Por tanto, la única simetría de la curva es con respecto al eje X.

Extensión. 

Despejando y en función de x, resulta.

y= ≠ √x^3/(1-x)

De (2) vemos que y es compleja cuando x es negativo. Por tanto, todos los valores negativos de x quedan excluidos; según esto no hay curva a la izquierda del eje Y. 

Además, y no esta definido para x = 1 y es compleja para todos los valores de x mayores que 1. Por tanto, los valores de x para los cuales y esta definida y es real, están dados por el intervalo de variación.

0≤x≤1

El despejar x en función de y no se puede efectuar fácilmente ya que es una ecuación cubica en x. Sin embargo, en (2) vemos que y puede tomar todos los valores reales asignando a x valores comprendidos dentro del intervalo de variación dado por (3). 

La grafica es, por consiguiente. Una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia arriba y abajo del eje X.

20. Ecuaciones factorizables

El trazado de curvas se puede simplificar considerablemente para ciertos tipos de ecuaciones a las que llamaremos ecuaciones factoriales; es decir, aquellas que pueden escribirse en forma del producto de dos o más factores variables igualado a cero. 

Por ejemplo, es evidente que la ecuación.

x^2- y^2=0

Pero también se puede escribir así:

(x-y)+(x+y)=0

La ecuación (2) solamente se satisface para valores de x y y que anulen a uno, por lo menos, de los factores de su primer miembro (Apéndice IB , 2). 

Es decir, la ecuación (2) se satisface para valores que satisfagan a una cualquiera de las ecuaciones siguientes:

x-y=0

x+y=0

Las coordenadas de cualquier punto que satisfagan ya sea a (3) o (4) satisfarán también (2) y, por tanto, a (1) . 
Por lo tanto, de acuerdo con la definición 1 del Articulo 14 , la gráfica de la ecuación (1) constante de dos curvas que son las gráficas de las ecuaciones (3) y (4) . Se recomienda al estudiante que trace las gráficas de (3) y (4) y compruebe que se trata de dos rectas que pasan por el origen y tienen de pendientes 1 y — 1 , respectivamente.

En general, si la ecuación

f(x,y)=0

Es factorizable, es decir si f(x,y) puede escribirse como el producto de dos o más factores variables , la gráfica de (5) constara de las gráficas de las ecuaciones obtenidas al igualar a cero cada uno de estos factores .

21. Intersecciones de curvas

Consideremos 2 ecuaciones independientes:

f(x,y)=0

g(x,y)=0

Si sus gráficas se cortan en uno o más puntos, cada uno de estos puntos se llama punto de intersección. Como un punto de intersección de dos curvas (1) y (2) está sobre cada una de dichas curvas, sus coordenadas deben satisfacer, simultáneamente, ambas ecuaciones (1) y (2) , de acuerdo con las definiciones del Articulo 14. 

La interpretación analítica de un punto de intersección es obvia; en el caso que estamos estudiando, es un punto cuyas coordenadas representan una solución común de las ecuaciones (1) y (2).

Como las coordenadas de un punto deben ser ambas números reales, una solución común (x , y) de (l) y (2) no puede representar un punto de intersección en nuestro sistema coordenado real a menos que ambos valores de x y y sean reales. 

Además, si las ecuaciones (1) y (2) son incompatibles, es decir, no tiene solución común, sus gráficas no se cortan.

22. Segundo problema fundamental

El método esta indicado claramente por dos definiciones previas, la definición 1 del Articulo 14 y la ultima definición del Articulo 22. Combinando estas dos definiciones tenemos una nueva
Definición. Se llama ecuación de un lugar geométrico piano a una ecuación de la forma
f(x,y)=0

Cuyas soluciones reales para valores correspondientes de x y y son todas las coordenadas de aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el lugar geométrico.

Nótese que esta definición expresa una condición necesaria y suficiente para que (1) sea la ecuación de un lugar geométrico. De acuerdo con esto, el procedimiento para obtener la ecuación de un lugar geométrico es esencialmente como sigue:

1. Se supone que el punto P, de coordenadas (x, y) es un punto cualquiera que satisface la condición o condiciones dadas , y , por tanto , un punto del lugar geométrico . 

2. Se expresa, analíticamente, la condición o condiciones geométricas dadas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables x y y. 

3. Se simplifica, si hace falta, la ecuación obtenida en el paso 2 de tal manera que tome la forma (1 ) .


4 . Se comprueba el reciproco: sean (x1,y1)las coordenadas de cualquier punto que satisfacen (1 ) de tal manera que la ecuación f(x1,x2) es verdadera.

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. CAPITULO I: SISTEMAS DE COORDENADA

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

CAPITULO I

SISTEMAS DE COORDENADAS

1. Introducción

El objeto de este capítulo es presentar algunos de los conceptos fundamentales de la Geometría Analítica plana. Estos conceptos son fundamentales en el sentido de que constituyen la base del estudio de la Geometría Analítica. En particular, se hará notar como se generalizan muchas de las nociones de la Geometría elemental por los métodos de la Geometría Analítica. Esto se ilustrará con aplicaciones a las propiedades de las líneas rectas y de las figuras rectilíneas.

2. Segmento rectilíneo dirigido

La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento.

Así, en la figura 1, para la recta l, AB es un segmento cuyos extremos son A y B. La longitud del segmento de A B se representa por AB.

El lector ya está familiarizado con el concepto geométrico de segmento rectilíneo. Para los fines de la Geometría analítica a la que diremos, al concepto geométrico de segmento, la idea de sentido o dirección. Desde este punto de vista consideramos que el segmento AB es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta 1 de A hacia B. 

Decimos entonces que el segmento AB está dirigido de A hasta B, e indicamos esto por medio de una flecha como en la figura 1. En este caso, el punto A se llama origen o punto inicial y el punto B extremo o punto final. Podemos también obtener el mismo segmento dirigiéndolo de B hasta A, entonces B es el origen y A el extremo, y el segmento se designa por B y A. El sentido de un segmento dirigido se indica siempre escribiendo primero el origen o punto inicial.

Desde el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes de los segmentos dirigidos, AB y BA, son las mismas. En Geometría analítica, sin embargo, se hace una distinción entre los signos de estas longitudes. Así, especificamos, arbitrariamente, que un segmento dirigido en un sentido será considerado de longitud positiva, mientras que otro, dirigido en sentido opuesto, será considerado como un segmento de longitud negativa.

De acuerdo con esto, si especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa, y escribimos: 

AB =- BA

Consideremos ahora tres puntos distintos A, B y C sobre una línea recta cuya dirección positiva es de izquierda a derecha. 

Hay:

3! = 6 ordenaciones posibles de estos puntos, como se muestra en la figura 2. Considerando solamente segmentos dirigidos de longitudes positivas, tenemos las seis relaciones siguientes correspondientes a estas ordenaciones:

Demostraremos enseguida que todas estas relaciones están incluidas en la relación fundamental:

En efecto, por (1), CB = - BC, de manera que la relación (a) puede escribirse:

De donde, pasando  -BC al segundo miembro, obtenemos (2). Análogamente, por ser CA = - AC y CB por (1), la relación (b) se convierte en 

En donde, por transposición, obtenemos también (2). La relación (c) está ya en la forma (2). Como anteriormente, usando (1), vemos que (d), (e) y (f) se reducen cada una a (2).

3. Sistema coordenado lineal

En el Artículo anterior hemos introducido los conceptos de dirección y signo con respecto a los segmentos rectilíneos. Ahora vamos a dar un paso mis introduciendo la idea de correspondencia entre un punto geométrico y un numero real.

Consideremos (fig. 3) una recta X'X cuya dirección positiva es de izquierda a derecha, y sea un punto fijo sobre esta línea. Tomemos una longitud conveniente como unidad de medida, si A es un punto de X'X distinto de O y situado a su derecha, la longitud OA puede considerarse como unidad de longitud. Si P es un punto cualquiera de X ' X situado a la derecha de y tal que el segmento dirigido OP , de longitud positiva, contiene x veces a la unidad adoptada de longitud , entonces diremos que el punto P corresponde al número positivo x. 

Análogamente , si P' es un punto cualquiera de X'X situado a la izquierda de y tal que el segmento dirigido OP' tenga una longitud negativa de x' unidades, entonces diremos que el punto P ' corresponde al número negativo X'. De esta manera, cualquier número real x puede representarse por un punto P sobre la recta X'X. Y recíprocamente, cualquier punto dado P situado sobre la recta X'X representa un número real x, cuyo valor numérico es igual a la longitud del segmento OP y cuyo signo es positivo o negativo según que P este a la derecha o a la izquierda de 0.

De acuerdo con esto, hemos construido un esquema por medio del cual se establece una correspondencia biunívoca entre puntos de una recta y los números reales. Tal esquema se llama un sistema coordenado. En el caso particular considerado, como todos los puntos están sobre la misma recta, el sistema se llama sistema unidimensional o sistema coordenado lineal. Refiriéndonos a la figura 3, la recta X ' X se llama eje y el punto es el origen del sistema coordenado lineal. 

El número real x correspondiente al punto P se llama coordenada del punto P y se representa por (x). Evidentemente, de acuerdo con las convenciones adoptadas, el origen tiene por coordenada (0) y el punto A tiene por coordenada (1). El punto P con su coordenada (a;) es la representación geométrica o gráfica del número real x, y la coordenada (x) es la representación analítica del punto P. Ordinariamente escribiremos el punto P y su coordenada juntos, tal como sigue: P(x).

Vamos a determinar ahora la longitud del segmento que une dos puntos dados cualesquiera  tales como Pi (xi) y Pi (x») de la figura 3. En Geometría analítica, se dice que los puntos están dados cuando se conocen sus coordenadas. Por tanto, xi y xi son números conocidos. Por la relación (2) del Artículo 2, tenemos:

La longitud del segmento dirigido P2P1 , obtenida de P1P2 por medio de la relación (1 ) del Artículo 2 , es:

En cualquier caso, la longitud de un segmento dirigido se obtiene restando la coordenada del punto inicial de la coordenada del punto final. Este resultado se enuncia como sigue:

• TEOREMA 1: En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dividido que une dos puntos dados se obtiene, en magnitud y signo, restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo.

La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico o valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos. Si representamos la distancia por d, podemos escribir:

Ejemplo

Hallar la distancia entre los puntos P1 (5) y P2 (-3). 

Solución. Por el teorema 1, las longitudes de los segmentos dirigidos son

Entonces por cualquiera de los segmentos dirigidos, la distancia está dada por: 

4. Sistema coordenado en el plano

En un sistema coordenado lineal, cuyos puntos están restringidos a estar sobre una recta, el eje, es evidente que estamos extremadamente limitados en nuestra investigación analítica de propiedades geométricas. Así, por ejemplo, es imposible estudiar las propiedades de los puntos de una circunferencia. Para extender la utilidad del método analítico, consideraremos ahora un sistema coordenado en el cual un punto puede moverse en todas direcciones manteniéndose siempre en un piano. Este se llama sistema coordenado-bidimensional o piano, y es el sistema coordenado usado en la Geometría analítica plana.

El primer ejemplo que estudiaremos de uno de estos sistemas, y, además, el más importante, es el sistema coordenado rectangular, familiar al estudiante desde su estudio previo de Álgebra y Trigonometría. Este sistema, indicado en la figura 4, consta de dos rectas dirigidas X'X y Y'Y, llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre si . La recta X' X se llama eje X; Y'Y es el eje Y; y su punto de intersección, el origen. Estos ejes coordenados dividen al piano en cuatro regiones llamadas Cuadrantes numerados tal como se indica en la figura 4 . La direcci6n positiva del eje X es hacia la derecha; la direcci6n positiva del eje Y , hacia arriba .

Todo punto P del piano puede localizarse por medio del sistema rectangular. En efecto, se traza PA perpendicular al eje X y PB perpendicular al eje Y. La longitud del segmento dirigido OA se representa por * y se llama abscisa de P; la longitud del segmento dirigido OB se representa por y Y se llama ordenada de P.

Los dos números reales, X y Y , se llaman coordenadas de P y se representan por (*, y) . Las abscisas medidas sobre el eje X a la derecha de son positivas y a la izquierda son negativas; las ordenadas medidas sobre Y arriba de son positivas y abajo son negativa. Los signos de las coordenadas en los cuatro cuadrantes están indicados en la figura 4.

Es evidente que a cada punto P del plano coordenado le corresponden uno y solamente un par de coordenadas (X,Y):

Recíprocamente, un par de coordenadas (X,Y) cualesquiera determina uno y solamente un punto en el plano coordenado.

Dadas las coordenadas (x , y) , x^y, quedan determinados dos puntos , uno de coordenadas (x , y)y otro de coordenadas (y , x) que son diferentes . De aquí que sea importante escribir las coordenadas en su propio orden, escribiendo la abscisa en el primer lugar y la ordenada en el segundo. Por esta razón un par de coordenadas en el piano se llama un par ordenado de números reales. En vista de nuestra discusión anterior, podemos decir que el sistema coordenado rectangular en el plano establece una correspondencia biunívoca entre cada punto del plano y un par ordenado de números reales.

La localización de un punto por medio de sus coordenadas se llama trazado del punto. Por ejemplo, para trazar el punto (—5, —6), señalaremos primero el punto A , sobre el eje X , que está 5 unidades a la izquierda de ; después , a partir de A , sobre una paralela al eje Y , mediremos seis unidades hacia abajo del eje X , obteniendo así al punto P(— 5 , — 6) . La construcción está indicada en la figura 5, en la que se han trazado también los puntos (2,6), (— 6, 4) y (4, -2).

El trazado de los puntos se facilita notablemente usando papel coordenado rectangular, dividido en cuadrados iguales por rectas paralelas a los ejes coordenados. La figura 5 es un modelo de papel de esta clase.

Se recomienda al estudiante el empleo de papel coordenado milimetrado cuando se requiera un trazado de gran exactitud.

Si consideramos solamente aquellos puntos cuyas ordenadas son cero, veremos que todos ellos están sobre el eje X, y el sistema coordenado plano se reduce al sistema coordenado lineal. Por lo tanto, el sistema coordenado lineal es, simplemente, un caso especial del sistema plano.

Otro sistema piano que tendremos ocasión de usar es el sistema de coordenados polares. Las coordenadas polares se estudiaran más adelante en un capítulo especial.

El lector deberá observar que en los sistemas coordenados que han sido estudiados, se establece una correspondencia entre los puntos y el con junto de los números reales. No se ha hecho mención de los números complejos del Álgebra. Como nuestros sistemas coordenados no especifican nada para los números complejos, no consideraremos tales números en nuestro estudio de la Geometría Analítica.

Ejemplo

Un triángulo equilátero OAB cuyo lado tiene una longitud a esta colocado de tal manera que el Vértice O está en el origen. El Vértice A esta sobre el eje de las X y a la derecha  de O, y el vértice B está arriba del eje X. Hallar las coordenadas de los vértices A y B y el área del triángulo.

Solución. 

Con referencia a los ejes coordenados, el triángulo está en la posición indicada en la figura 6. Como OA = a. la abscisa del punto A es A. También, por estar A sobre el eje de las X, su ordenada es 0. Por tanto, las coordenadas del Vértice A son (a, 0).

Si trazamos la altura BC, perpendicular al lado OA, sabemos, por la Geometría elemental, que C es el punto medio de OA. Por tanto, la abscisa de C es a/2.

Como BC es paralela al eje Y, la abscisa del punto B es también a/2. La ordenada de B se obtiene ahora muy fácilmente por el teorema de Pitágoras, dicha ordenada es  

5. Carácter de la Geometría analítica

La Geometría elemental, conocida ya del lector, se llama Geometría pura para distinguirla del presente estudio. Acabamos de ver que por = medio de un sistema coordenado es posible obtener una correspondencia biunívoca entre 

Puntos y números reales. Esto, como veremos, nos permitirá aplicar los métodos del Análisis a la geometría, y de ahí el nombre de Geometría analítica. Al ir avanzando en nuestro estudio veremos, por ejemplo, como pueden usarse, ventajosamente, los métodos algebraicos en la resolución de problemas geométricos. Recíprocamente, los métodos de la Geometría analítica pueden usarse para obtener una representación geométrica de las ecuaciones y de las relaciones funcionales.

El sistema coordenado, que caracteriza a la geometría analítica, fue introducido por primera vez en 1637 por el matemático francés Rene Descartes (1596-1650). Por esta razón, la Geometría analítica se conoce también con el nombre de geometría cartesiana. Por la parte que toma en la unificación de las diversas ramas de las matemáticas, la introducción de la geometría analítica representa uno de los adelantos más importantes en el desarrollo de las matemáticas.

En geometría pura, el estudiante recordara que, generalmente, era necesario aplicar un método especial o un artificio, a la solución de cada problema; en geometría analítica, por el contrario, una gran variedad de problemas se pueden resolver muy fácilmente por medio de un procedimiento uniforme asociado con el uso de un sistema coordenado. El estudiante debe tener siempre presente que esta. 

Siguiendo un curso de geometría analítica y que la solución de un problema geométrico no se ha efectuado por geometría analítica si no se ha empleado un sistema coordenado. Según esto, un buen plan para comenzar la solución de un problema es trazar un sistema de ejes coordenados propiamente designados. 

Esto es de particular importancia en los primeros pasos de la geometría analítica, porque un defecto muy común del principiante es que si el problema que trata de resolver se le dificulta, esta propenso a caer en los métodos de la geometría pura. El estudiante deberá hacer un esfuerzo para evitar esta tendencia y para adquirir el método y espíritu analítico lo más pronto posible.

6. Distancia entre dos puntos dados

Sean P1(x1, y1) y P2, (x1, y2) dos puntos dados cualesquiera (fig. 7). Vamos a determinar la distancia d entre P1 y P2, siendo d = [P1 P2]. Por P1 P2 tracemos las perpendiculares Pi A y P2 D a ambos ejes coordenados, como se indica en la figura, y sea E su panto de intersección. Consideremos el triángulo rectángulo P1 EP2. Por el teorema de Pitágoras, tenemos:

Las coordenadas de los pies de las perpendiculares a los ejes coordenados son A (x1, 0), B (0, y1), C (x2, 0), D (0, y1). Luego, por el teorema 1 (Art. 3) tenemos: 

Este resultado se enuncia como sigue:

Teorema 2. La distancia d entre dos puntos P1(x1, y1) y  P2 (x2, y2) es dada por la fórmula:
 d= √((x1-x2)2)+(y1-2)2

8. Pendiente de una recta

Dos rectas al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice (fig. 11). Por tanto, la expresión ' ' el ángulo comprendido entre dos rectas ' ' es ambigua, ya que tal ángulo puede ser el a o bien su suplemento . Para hacer una distinción entre estos dos ángulos , consideramos que las rectas están dirigidas y luego establecemos la siguiente

 9. Significado de la frase "condición necesaria y suficiente"

En este artículo nos apartaremos momentáneamente de nuestro estudio de la geometría analítica para considerar el significado de una expresión que se presenta frecuentemente en Matemáticas. La expresión particular a que nos referimos es ' ' una condición necesaria y suficiente ' ' Veamos primero su significado con un ejemplo. 

Consideremos el sencillo teorema siguiente de la geometría elemental: 

Si un triángulo es isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Este teorema establece que si un triángulo es isósceles necesariamente se verifica que los Ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Por tanto, podemos decir que la existencia de dos Ángulos iguales es una condición necesaria para que el triángulo sea isósceles.

Pero el recíproco de este teorema también es verdadero, a saber: 

Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a estos ángulos son también iguales, y el triángulo es isósceles. Este teorema establece que la existencia de dos ángulos iguales es suficiente para que un triángulo sea isósceles. De ahí deducimos que la existencia de dos ángulos iguales es una condición suficiente para que el triángulo sea isósceles. 

Podemos entonces combinar ambos teoremas, directo y recíproco, en el siguiente enunciado único: 

Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea isósceles es que dos de sus ángulos sean iguales. Una frase de uso frecuente en lugar de ' ' una condición necesaria y 

Suficiente" es "si y solamente si". Así el enunciado precedente puede escribirse: 

Un triángulo es isósceles si y solamente si dos de sus ángulos son iguales.

10. Angulo de dos rectas

Consideremos (fig. 15) las dos rectas h y h, Sea C su punto de intersección y A y B los puntos en que cortan al eje X. Sean O1 y O2 los dos ángulos suplementarios que forman. Cada uno de estos ángulos, O1 y O2, se miden, tal como indican las flechas curvadas, en sentido contrario al de las manecillas de un reloj, sea, en sentido positivo, como en Trigonometría. 

La recta a partir de la cual se mide el ángulo se llama recta inicial; la recta hacia la cual se dirige el ángulo se llama recta final. Las pendientes de las rectas inicial y final se llaman pendiente inicial y pendiente final, respectivamente.

Designemos por  el ángulo de inclinación de la recta U y por mí la pendiente; para la recta h, sean at y mi el ángulo de inclinaci6n y la pendiente, respectivamente. Para el ángulo 0\, la recta inicial es h, la pendiente inicial es mí, la recta final es h y la pendiente final es m2 ; para el ángulo 02 , la recta y la pendiente inicial, y la recta y pendiente finales, están dadas por l2, r2, l1 y m1, respectivamente. Vamos ahora a calcular cada uno de los ángulos O1 y O2 cuando se conocen las pendientes m1 y m2 de los lados que forman estos ángulos.

Por geometría elemental, un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos. Por tanto, en el triángulo ABC, siendo 01 = ángulo ACB, tendremos:

 Tomando en cuenta la tangente de ambos miembros (1), tendremos:

 Pero m1= tg a1 y m2 = tg a2, Luego de (2),

 Para el triángulo ABC, con 02 por ángulo exterior, tenemos 

 Tomando tangentes en ambos miembros, obtenemos:

Comparando (3) y (4), vemos que solamente difieren en el signo, lo cual era de esperarse, ya que 61 y di son ángulos suplementarios. 

Para calcular un ángulo especificado es esencial saber si se debe usar la formula (3) la (4), es decir, debemos tener la seguridad de que estamos calculando un ángulo particular su suplemento. Esto se resuelve muy sencillamente si observamos que, en ambos resultados, el numerador se obtiene restando la pendiente inicial de la pendiente final. 

11. Demostración de teoremas geométricos por el método analítico

Con los resultados obtenidos en este capítulo es posible demostrar muy fácilmente muchos teoremas de la geometría elemental por los métodos de la geometría analítica. El estudiante comprenderá el alcance de la geometría analítica comparando la demostración analítica de un teorema con la demostración del mismo teorema dada en geometría elemental. 

En relación con la demostración analítica de un teorema, son necesarias ciertas precauciones. Como en la demostración se emplea un sistema coordenado, es muy útil construir la figura de manera que se facilite la demostración. Una figura debe colocarse siempre en la posición más simple, es decir, en una posición tal que las coordenadas de los puntos de la figura simplifiquen lo más posible los cálculos algebraicos. 

Por ejemplo, en un teorema relativo a un triangulo cualquiera, la figura puede suponerse tal como se indica en la figura 17 (a), teniendo los vértices las coordenadas que se indican. Pero es más sencillo suponer el triángulo en la posición indicada en la figura 17 (b); en efecto, para esta posición solamente tenemos tres cantidades, a, b y c, que considerar, mientras que si consideramos

El triángulo dado en la figura 17 (a) serán seis las cantidades que entraran en nuestros cálculos. Una posición análoga a la dada en la figura 17 (6) es aquella en que ningún vértice está en el origen, pero un vértice esta sobre uno de los ejes coordenados y los otros dos están sobre el otro eje coordenado. El estudiante dibujar las figuras correspondientes a este caso.

12. Resumen de formulas

A intervalos apropiados el estudiante debe construir tablas que comprendan un sumario de los resultados obtenidos. En tales tablas se apreciar a simple vista no solamente las relaciones importantes sino también algunas analogías o propiedades comunes,  también servirán para reducir a un mínimo los resultados que deben aprenderse de memoria. 

Como ejemplo, presentamos a continuación un resumen, en forma de tabla, de los principales resultados obtenidos en este capítulo. El estudiante debe tener estos resultados claramente definidos en su mente, y, en particular, debe notar el paralelismo entre la condición geométrica por una parte y su representación analítica por otra.