CAPITULO III LA LINEA RECTA

CAPITULO III 

LA LINEA RECTA

Definición de la linea recta

Llamamos linea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 (x1, y1)y P2 (x2, y2) del lugar, el valor de la pendiente m calculado por medio de la formula del teorema 4, articulo 8, 

Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su dirección. Analíticamente, la ecuación de una recta puede estar perfectamente determinada si se conocen las coordenadas  de uno de sus puntos y su angulo de inclinación ( y, por tanto, su pendiente.)

Otras formas de la ecuación de la recta

Una recta es o no paralela al eje Y. Si es paralela al eje Y su ecuación de la forma x=k; si no es paralela a dicho eje, su pendiente esta definida y su ecuación esta dada por el teorema 1 del articulo 29.  Como todas las rectas caen bajo una de estas dos clasificaciones, cualquiera otra forma de la ecuación de una recta debe reducirse, necesariamente, a una de estas dos formas. Para algunos tipos de problemas, sin embargo son más convenientes otras formas. 

Forma general de la ecuación de la recta

La ecuación de una recta cualquiera, en el plano coordenado, es de la forma lineal

Ax + By + C = 0

en donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero.

La ecuación se llama la forma general de la ecuación de una recta.

Discusión de la forma general

Al buscar la ecuación de una recta particular, sabemos a priori que es de la forma lineal; el problema que queda por resolver es el de determinar los coeficientes A, B y C. 

El estudio de los coeficientes es de gran importancia. 

Consideremos los tres coeficientes A, B y C en la forma general. En primer lugar, todos son constantes reales y arbitrarias, es decir, que pueden tomar cualquier valor real, siempre que A y B no seas simultáneamente nulos. 

Puede parecer a primera vista que estas tres constantes son independientes. Pero puede demostrarse fácilmente que, en realidad, solamente hay dos constantes independientes. En efecto, uno, cuando menos, de los coeficientes A y B debe ser diferente de cero. Por tanto, si 

podemos dividir la ecuación general de la recta por A de manera que tome la forma

en la que hay solamente dos constantes independientes que son las razones arbitrarias B/A y C/A. 

Sabemos, por Álgebra, que para calcular estas constantes se necesitan dos ecuaciones independientes que las que contengan, y que cada una de estas ecuaciones se obtiene a partir de una condición independiente. Por tanto, analíticamente, la ecuación de una recta queda perfectamente determinada por dos condiciones independientes. Geométricamente, una recta también queda determinada por dos condiciones determinadas si se conocen dos de sus puntos, o uno de sus puntos y su dirección. 

Forma normal de la ecuación de la recta 

Consideremos un segmento OP1 de longitud p y con uno de sus extremos 0 siempre en el origen.

La posición exacta de este segmento de recta en el plano coordenado esta determinada por el ángulo w, que, en Trigonometría, es el ángulo positivo engendrado por el radio vector OP1 al girar alrededor del origen. 

La posición exacta de este segmento de recta en el plano coordenado esta determinada por el angulo w, que, como en Trigonometría, es el angulo positivo engendrado por el radio vector OP1, al girar alrededor del origen. De acuerdo con esto, la longitud p se considera positiva, y la variación de los valores del angulo w viene dada por

Aplicaciones de la forma normal

A continuación vamos a considerar dos aplicaciones de la forma normal.

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado.
Sea l la recta dada y P1(x1,y1) el punto, y designemos por d la distancia de l a P1. Como P1 y l pueden ser cualesquiera en el plano coordenado, hay seis posiciones relativas posibles de P1, l y el origen 0.

Supongamos que la forma normal de la ecuación de l es


Sea l' la recta trazada por P1 y paralela a l, y sea p' la longitud a perpendicular trazada desde el origen a l'.
Como tendremos ocasiones de tratar con segmentos de recta dirigidos, asignaremos la dirección positiva  ala recta normal trazada desde el origen hacia la recta l. 

Área de un triangulo

Se han anotado previamente varios métodos para terminar el  área formula que permite calcular el área de triangulo dado. obtendremos ahora una formula que permite calcular el área de un triangulo en función de las coordenadas de sus vértices.

Sean A (x1,y2), B (x2,y2) y C (x3,y3) los vértices de un triangulo cualquiera dado. Designemos por h la longitud de la altura de B sobre el lado AC, y por b la longitud del lado AC. El área del triangulo esta dada por la formula.
  

Familias de lineas rectas

Definición. La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia o haz de rectas.

El concepto de familia de rectas es útil en la determinación de la ecuación de una recta particular. El procedimiento consiste, esencialmente, en dos pasos:
a) se escribe la ecuación de la familia de las rectas de tal manera que satisfaga una condición dada, y b) se determina el valor del parámetro de la familia aplicando la otra condición dada.